Instructor

daniela mansilla

Clases de Matemática

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Overview

Introducción del Curso

El siguiente curso de matemática está enfocado a alumnos de primero medio, con contenidos y materias del nivel mencionado.

Comenzaremos haciendo uso de éste recurso didáctico para llevar acabo la primera clase que tratará sobre "Estadística", específicamente conocerán y aprenderán sobre: Los diferentes tipos de gráficos que existen, medidas de tendencia central, y tablas de frecuencia.

Este curso tiene como objetivo principal:

-Aprender a interpretar información en diversos contextos, tanto como en gráficos y tablas de frecuencias o datos.

-Desarrollar habilidades sobre el uso de tic, al explorar en este nuevo recurso didáctico para la formación del estudiante.

-Conocer y aprender sobre el desarrollo de cálculos estadísticos y su importancia en la vida cotidiana.

Cabe destacar que la importancia de este curso no es solo aprender en él, si no desarrollar valores como el buen compañerismo y la solidaridad al momento de explorar y utilizar "Eliademy" como recurso didáctico.

 

Para dar inicio al curso...

Haz click en el siguiente link y explora sobre la importancia que tiene aprender estadística en el diario vivir https://www.youtube.com/watch?v=OPkGxnEXLsI .

 

 

 

Contenido

Procesamiento de la información: tablas y gráficos.

Recopilar y procesar datos se ha convertido en una necesidad imperiosa en la actualidad. Conocerlos e interpretarlos le permite al hombre de hoy descubrir, prevenir, informar o predecir el comportamiento de diferentes sucesos o fenómenos propios de la naturaleza, del entorno social o incluso del pensamiento.

En cualquier caso, disponer en una tabla los datos obtenidos nos facilitará su interpretación y su representación gráfica.

¿Cómo recopilar los datos? Hay varias formas: puede ser mediante la observación, mediante entrevistas, haciendo encuestas o consultando documentos.

Se denomina gráfica o gráfico a la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, vectores, superficies, colores o símbolos, que muestran visualmente la relación que guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

 

Tipos de gráficas estadísticas

a) Gráfico de barras:

Es un gráfico estadístico que está formado por varios rectángulos igualmente espaciados, del mismo ancho, cuyas bases están colocadas sobre una misma línea horizontal.

A los rectángulos que forman el gráfico de barras se les llama barras.

En este tipo de gráfico, es posible observar que las barras:

1.- Están sobre el eje de las abscisas.

2.- Tienen el mismo ancho.

3.- Están igualmente espaciadas.

 En el eje de las abscisas se representan los valores de una de las variables (eje x) y en el eje de las ordenadas se representa la otra variable (eje y).

Se usa generalmente cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total.

 

b) Gráfico lineal o de segmentos:

Se usa especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos. Además permite visualizar rápidamente una situación determinada.       

 

c) Gráfico circular:

Muestra las relaciones o proporciones de las partes con un todo. Este gráfico (a la derecha) es de utilidad cuando se pretende destacar un elemento importante.

Un gráfico circular siempre se compone de una serie de datos. 

 

d) Histograma:

Un histograma es una gráfica de barras verticales que representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa. El histograma se construye colocando primero los límites reales de clase (Lri) en el eje horizontal y las frecuencias (fi) en el eje vertical, se traza una barra rectangular para cada clase, los límites reales de clase se utilizan para medir el ancho de la base de la barra y la frecuencia para medir la altura. 

 

e) Polígonos de frecuencia:

El polígono de frecuencia se construye a partir de los datos de la tabla de frecuencias (Lo que veremos más adelante). Un histograma puede transformarse en un polígono de frecuencias uniendo mediante segmentos los puntos medios (marca de clase mi) ubicados en la parte superior de los rectángulos, los rectángulos no son parte del polígono, pero se emplean como ayuda visual. El polígono que se forma comienza en el punto medio de la clase que se encuentra inmediatamente antes de la clase más baja y termina en el punto medio de la clase inmediata posterior a la clase más alta. Tanto el histograma como el polígono de frecuencias nos permiten obtener una imagen rápida de las principales características de los datos, tales como; tendencias, concentración de puntos, máximos y mínimos.  

 

Relación: Histograma-Polígono de frecuencia

 

 

 

Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda

Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

Ejemplo:

"Digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno  fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase."

En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:

-Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

-Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.

-Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

-Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

Las medidas de tendencia central más comunes son:

a) Media aritmética o promedio: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por un X con una línea en la parte superior.

 

Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

Ejemplo:

1) En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas:  4, 7, 7, 2, 5, 3

n = 6 (número total de datos)

La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.

 

b) Moda (Mo): es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.

Ejemplos:

1) Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

                  5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

2) Determinar la moda en el siguiente conjunto de edades:

               20, 12, 14, 23, 78, 56, 96

En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

 

c) Mediana (Med o Md): es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

-Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

1) Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.

2) Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplos:

1) ​Se tienen los siguientes datos:  5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:  1, 2, 4,  5, 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

2) El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.

     21, 19, 18, 15,  13, 11, 10, 9, 5, 3

      .

 

Tablas de Frecuencias

Una forma de presentar ordenadamente un grupo de observaciones, es a través de tablas de distribución de frecuencias. La estructura de estas tablas depende de la cantidad y tipo de variables que se están analizando, siendo las más simples las que se refieren a una variable. 

EJEMPLO : Se tienen las notas de una prueba de matemática para 1000 alumnos de enseñanza media de un determinado colegio. Se resume la información en la siguiente tabla de frecuencia. 

 

En una tabla se pueden distinguir los siguientes tipos de frecuencias:

Frecuencia Absoluta : Es el número de repeticiones que presenta una observación. Se denota por ni Frecuencia Relativa : Es la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos. Se denota por fi.

Frecuencia Absoluta Acumulada : Es la suma de los distintos valores de la frecuencia absoluta tomando como referencia un individuo dado. La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número de casos. Se denota por Ni.

Frecuencia Relativa Acumulada : Es el resultado de dividir cada frecuencia absoluta acumulada por el número total de datos. Se denota por Fi.

 

Para el ejemplo propuesto se determinaron las distintas frecuencias, las que se muestran en la siguiente tabla: 

 

 

Nota: Si la frecuencia relativa y relativa acumulada la multiplicamos por 100, los valores obtenidos representan porcentajes, lo que facilita la interpretación de los datos.

De esta tabla se pueden sacar conclusiones como:

• 45 alumnos obtuvieron nota 4,0

• 578 alumnos obtuvieron nota inferior o igual a 5,0

• El 1,8 % de los alumnos obtuvo nota 7,0

• El 31 % obtuvo nota 4.0 o inferior a ésta, mientras que el 69% obtuvo una nota superior a 4,0 

 

Ejercicios propuestos

 

  1. Considera  10 pacientes de edades 21 años, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80. ¿Cuál es la media de edad de estos sujetos?
  2. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide: Calcular su media, mediana, moda
  3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el gráfico más adecuado.

4.  Calcular la media aritmética de las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una muestra de 20 alumnos, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y agrupando en intervalos.

4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6

5.  A cinco trabajadores se les paga por hora. Los valores de los sueldos por hora son $800, $800, $850, $1050 y $1200. a) Calcula la media, la moda y la mediana. b) Si el sueldo por hora del trabajador que gana más, aumenta a $2000 por hora, ¿qué efecto tiene esto sobre la media, la moda y la mediana de los 5 datos? 

6.  En un grupo de 10 jóvenes, la edad promedio es de 17,1 años y la mediana es de 16,5 años. Si al grupo llega un joven de 21 años, ¿cuáles son la media y mediana ahora?

7.  ¿Cuál es la mediana para los datos representados en el siguiente polígono de frecuencias relativas acumuladas?  

 

 

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  • Material PSU

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